“Read
Euler, read Euler, He is the master of us all.”
(Laplace)
La constante de Euler 
Mascheroni
Extraído
de “Euler, The master of Us All”
[The
Mathematical Association of America]
William
Dunham
Teorema. Existe el , y este límite es finito.
Prueba. Sea
y hagamos dos
observaciones.
En primer lugar:
porque, como se ve en la
Figura 1 , la integral es el área sombreada
bajo la hipérbola mientras que es el área rectangular, mayor, que incluye el gráfico de la hipérbola.
Se sigue que ,
así que la sucesión es creciente.
En segundo lugar, está
claro en la Figura 2 que la suma de los
bloques rectangulares es menor que la correspondiente área bajo la curva. Por
consiguiente,
De aquí
para todo .
Juntas, estas observaciones
demuestran que es una sucesión creciente acotada
superiormente por .
La completitud de los números reales garantiza la existencia de .
Como breve comentario al
margen notemos que la definición de la
constante de Euler que figura en los textos modernos está ligeramente
modificada:
El cambio del original de Euler, al moderno no produce diferencia, porque
Junto con sus primos más
conocidos y ,
el número figura entre las más importantes constantes
de la matemática, y fue señalado por Euler como “digno de seria atención”. Al
igual que y ,
hace apariciones sorpresivas de tanto en
tanto. Es central para una comprensión de la función gamma en análisis avanzado, y figura en formulas bellas aunque
peculiares como las siguientes tres:
exhibiendo esta última una
deliciosa simetría en y .
Como tantas ideas profundas
en matemática, la constante de Euler ha sido reacia a entregarnos todos sus
secretos.
Por ejemplo, el geómetra
italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800), en un trabajo titulado Adnotationes ad calculum integrale Euleri, computó con la impresionante exactitud de 32 lugares.
Unos pocos años más tarde, Johan Georg von Soldner (1776-1833) publicó un valor
de que difería del de Mascheroni en el vigésimo
lugar decimal, algo que creó una situación levemente embarazosa. Nada menos que el matemático Carl Friedrich
Gauss (1777-1855) solicitó a un tercer individuo, un tal F.B.G. Nicolai
(1793-1846), al que describió como “un calculador infatigable”, que resolviera
el asunto. Eso fue lo que hizo
Nicolai, determinando 40 decimales de
la constante, demostrando así que von
Soldner tenia razón y que Mascheroni estaba equivocado.
Esta mini-crisis sobre la
aproximación de una constante bien definida nos recuerda cuán lejos hemos
llegado. Cuando las computadoras calculan rutinariamente unos pocos centenares
de millones de lugares de ,
una discrepancia en el vigésimo lugar de gamma parece casi risible.
A propósito, fue
Mascheroni quien introdujo el símbolo para este número especial. A pesar de que lo
había calculado mal, es a veces conocida como la constante de
Euler-Mascheroni. A la luz de las circunstancias, parece injusto que el nombre
de Mascheroni haya sido gloriosamente
unido al de Euler con un guión.
El misterio más perdurable
acerca de la constante de Euler es también fundamental: ¿ es racional o irracional? Euler mismo dijo que era “una cuestión de
gran importancia” la caracterización de este número. Sin embargo el problema básico de su racionalidad /
irracionalidad ha desafiado hasta hoy a
la comunidad matemática. Continúa
siendo un problema no resuelto.
Esto ocurre a pesar del
hecho que todo el mundo sabe cuál será la respuesta. Algo tan complicado
como no está cerca de ser un número racional, una simple fracción con la expansión
decimal repetida. Pero, si su irracionalidad está universalmente sospechada,
jamás ha sido probada. Al igual que la existencia de números perfectos impares,
la irracionalidad de es un digno desafío para cualquiera que sueñe
con alcanzar la inmortalidad
matemática.
Los potenciales aspirantes,
sin embargo, deben estar advertidos: este problema ha derrotado a algunas de
las mentes más lúcidas de los últimos siglos, y seguramente hay caminos más
fáciles para hacerse famoso.
William Dunham
Preparado por Mario Augusto
Bunge para http://www.rinconmatematico.com
Traducción de
Leonardo O. Aiello.
