Curso de análise, de Elon Lages Lima, es un libro lleno de atractivos. Vale la pena leerlo. Acá damos una pequeña muestra.
Más matrices de Toeplitz
Problema 1.
Sea T un arreglo de números no negativos
Haga dos hipótesis sobre el arreglo T.
Primera: cada línea tiene suma igual a 1.
Segunda:
cada columna tiene límite cero: para todo
Dada una
sucesión convergente con
usar el arreglo T para transformarla en una
sucesión
con
Probar que
Sugerencia: Considere inicialmente el caso Dado
existe
tal que
.
Existe también
tal que
para todo
A
continuación, obtenga tal que
donde
.
Tome
.
Observe que
,
donde la suma de los p primeros sumandos no excede
,
y la suma de los restantes
sumandos no supera
. Luego,
.
El caso general se reduce inmediatamente a este.
Los siguientes problemas, salvo numeración, son tomados tal cual se encuentran en el libro mencionado al final.
Problema
2. Si poniendo
,
se tiene
[Sugerencia: use el problema 1.]
Problema
3. Si y los
son todos positivos, entonces
[Sugerencia: tome logaritmos y aplique el problema anterior.]
Concluya
que si y
,
entonces
.
Problema
4. Sea para todo
,
con
.
Si
,
entonces
.
Problema
5. Si es creciente y
,
entonces
.
[Sugerencia: use el problema anterior.]
Problema
6. [Sugerencia: use el problema
anterior.]
Problema
7. [Sugerencia: use el final del problema
3.]
Elon Lages Lima, Curso de análise. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 1976