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La fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros
números naturales obtenida visualmente
Mario Augusto Bunge
Universidad de Buenos AIres
Ciclo Básico Común
Departamento de Matemática
Probar por inducción completa la validez de
no parece ayudarnos a comprender
cómo llegar a conjeturar esta relación.
Intentamos acá una aproximación geométrica.
Obteniendo
el cubo de lado a partir del cubo de lado
De un cubo de lado pasaremos a un cubo de lado
,
conforme al procedimiento que sugieren las figuras, y que detallamos más abajo.
|
|
Tomamos tres rebanadas de sección
cuadrada
y espesor
,
pegándolas sobre el cubo tal como se ve en la figura. Hecho esto, quedan a la
vista tres "dientes". Rellenamos los dientes con tres lingotes de largo
y sección
.
En el encuentro de los tres
lingotes queda todavía un vacío, que debemos rellenar con un pequeño cubo de
lado . De esta manera arribamos al nuevo cubo, ahora de lado
.
Así, el cubo de lado se obtiene del cubo de lado
adosándole la cubierta consistente en esas tres rebanadas, más los
tres lingotes, más el cubito.
|
|
El volumen del nuevo cubo
Cada una de las tres rebanadas
tiene volumen ,
mientras cada uno de los tres lingotes es de volumen
y, finalmente, tenemos el cubito, con volumen
.
Vemos así que el volumen del nuevo
cubo se puede expresar haciendo intervenir la suma de los volúmenes de los
constituyentes de la cubierta:
Hemos obtenido de esta forma una representación geométrica del desarrollo del
cubo del binomio, para el caso en que ambos parámetros son positivos.[1]
En el particular caso en que el lado es un valor entero,
digamos ,
y el módulo de avance es
,
se tiene
Desde acá en adelante, nos concentraremos en los cubos de lados enteros.
Avanzando por capas
Antes de continuar, miremos bien las muñecas rusas:[2]
 |
Como se sabe, la más pequeña se puede guardar en la que le sigue en tamaño, y así sucesivamente, siendo así posible que la mayor guarde en su seno a todas las demás.
Una vez miradas las muñecas, estamos en condiciones de continuar.
Llamaremos al cubo de lado
(más brevemente, el
-cubo), y
a la cubierta
de espesor unitario formada por las ya mencionadas rebanadas, lingotes y
el cubito unitario. Con esta notación
Además, el volumen de la capa -ésima es
.
Como hemos visto, cada cubo con se descompone en el cubo anterior más su cubierta asociada y así
tenemos:
Pero, como ,
podemos poner
con lo que el 3-cubo queda realizado como el 1-cubo más las dos primeras capas.
Razonando de igual forma,
y así sucesivamente.
De esta forma llegamos a:
El cubo inicial, junto con sus n capas,
producen el cubo n+1 - ésimo
de donde, finalmente:
El volumen del "último" cubo se obtiene
sumando, al volumen del cubo inicial, el
volumen de sus capas [3]
(*)
Ahora observemos que siendo
,
al dar a k sucesivamente los valores 1, 2, ..,n, podemos
obtener el volumen total de las capas:
Llegado este momento, y pensando en los lectores con poca experiencia con sumas como estas, reacomodaremos la misma suma, mostrándola en columnas [4].
Sumando la columna izquierda tenemos el triple de ,
el triple de
,
el triple de
,
hasta el triple de
,
lo que podemos poner también como
,
donde abreviamos
.
La columna central nos da
el triple de 1, el triple de 2, etc., hasta el triple de ,
lo que sumado nos da
,
donde hemos puesto
Por último, la
columna derecha está formada por unos, y como hay n sumandos, la suma nos da exactamente .
Ya falta poco...
Volviendo a (*), y habida cuenta que y
,
(*) se transforma en
O bien:
(**)
Recuérdese también la conocida fórmula para la suma de los primeros n naturales:
Ahora en (**) todo es conocido, salvo ,
que es precisamente lo que nos proponemos conocer.
Resistimos a la tentación de desarrollar el cubo de ,
pero aprovechamos que
está presente en todos los sumandos,
Este es el momento oportuno para desarrollar paréntesis y
reagrupar:
de donde
.
y recordando quién es ,
se tiene