Este artículo forma parte de “Notas al Capítulo V” del agotado Tomo I de Análisis Matemático de Julio Rey Pastor, Pi Calleja y César A. Trejo, p. 330 y ss.
En esta primera entrega se introducen las matrices de Toeplitz y se muestra la enorme potencia de las transformaciones de Toeplitz al probar con poco esfuerzo conocidos teoremas sobre sucesiones.
Algoritmos generales de convergencia y sumación.
a) Transformación de Toeplitz.
Teorema 1. Si una matriz infinita de números reales o complejos
cumple las condiciones:
Cada columna tiene límite nulo, es decir
;
Existe una constante K, independiente de n,
tal que para todo
es
;
entonces,
cualquier sucesión real o compleja de límite nulo,
,
se transforma por la matriz
en una sucesión:
[1]
que
también tiene límite nulo, .
Obsérvese
que la condición implica la convergencia absoluta de las
series formadas con los elementos de cada fila:
.
Teorema
2. Si la matriz ,
además de cumplir las condiciones
y
,
cumple la condición
entonces, toda sucesión real o compleja de límite finito s,
es decir
,
se transforma por la matriz T en una sucesión [1] que tiene límite
,
es decir:
.
Teorema 3. Si la matriz T tiene todos sus elementos reales no negativos, y además cumple las condiciones a1) y a2), entonces:
Toda
sucesión de elementos reales, transformada por [1] en la
,
verifica
[2]
Las
matrices que originan la transformación [1] en las tres condiciones ,
y
se llaman matrices T o de Toeplitz (1911).
Si
se toma para
,
para
,
se obtiene una matriz T que cumple las condiciones de hipótesis de
los tres teoremas anteriores con
,
y origina una transformación, ya estudiada por Cauchy (1821) de una sucesión
en las de las medias aritméticas de sus n
primeros términos
Obsérvese
que en el teorema 3, la condición implica la
,
y que en los teoremas 1 y 2, por conservarse acotados los términos
,
la condición
asegura la convergencia absoluta de las
series [1], es decir, la existencia de la sucesión transformada
.
Demostración del teorema 1.
Dado
,
tomemos
tal que para
se conserve
.
Entonces por
es:
,
para cualquier n , y podremos poner:
.
Por
se puede tomar
,
para todo
,
en que
,
.
Por
lo tanto, ;
es decir:
si
, como queríamos demostrar.
Demostración del teorema 2.
Expresemos
con
;
entonces en [1] se tiene
.
La condición asegura que el primer sumando del
último miembro tiende a
,
mientras que la suma de la serie
tiende a cero para
por el teorema 1, lo que demuestra el teorema
2.
Demostración del teorema 3.
Probemos, por ejemplo, la primera desigualdad [2] .
Supuesto
,
sea un número cualquiera
.
Entonces,
para
,
y por ser los elementos de T reales no
negativos, es
,
para cualquier
.
Fijado
,
para
por
y
queda
,
y por ser
arbitrario, es
,
es decir:
.
Para una matriz que tenga elementos no todos positivos o nulos, puede no ser cierto el teorema 3.
Ejemplo 1. La matriz T, de elementos
cumple
las condiciones ,
con
.
Pruébese que la sucesión
,
,
se transforma por [1] en
,
y
no se cumple la conclusión [2].
Sin embargo, subsisten para esta matriz T los teoremas 1 y 2.
Si la matriz T hubiese tenido como elementos
se
cumpliría el teorema 1, pero no el teorema 2, y por consiguiente, tampoco el
teorema 3, como se comprueba tomando constante, mientras que
oscila.
b) Medias aritméticas y geométricas.
El resultado de Cauchy antes mencionado, referido al teorema 2, dice:
Si
una sucesión real o compleja tiene límite
,
entonces la sucesión de medias aritméticas de los
primeros términos tiene el mismo límite,
Análogamente se formula el teorema 3 para este caso
Si
,
resulta
, como se verifica tomando logaritmos, es
decir, también las medias geométricas de los n primeros términos de una
sucesión convergente de términos positivos
, tiene el mismo límite.