El problema del mes

 

Antes de comenzar quisiera aclarar el porqué del título de esta sección. No se trata de alguna especie de hipérbole tan común en boca de cronistas deportivos como:  “El partido del año”,  “El combate de la década”, “El campeón del siglo”, o “El mejor de todos los tiempos”.

Al hablar del  “problema del mes” , tampoco deseo que  se entienda que el problema es necesariamente muy duro y que resolverlo puede demandar, quizás, días o semanas. Lo del mes, en fin, se refiere sólo a la periodicidad con la que creo que puedo comprometerme a elegir y redactar un problema, y publicarlo aquí junto con la lista de quienes hayan mandado soluciones correctas del problema anterior, y una o dos de las más bellas (a mi subjetivo juicio) o de las primeras que hayan llegado. De manera que si esta sección llega alguna vez a llamarse “El problema del bimestre” o “El problema del año”, se deberá a que el  exceso de trabajo, o bien por el contrario, el exceso de molicie, me obligan a dilatar el tiempo entre un problema y otro. Si en cambio el nombre mutara por “”El problema de la quincena’ o “El problema de la semana”, eso será seguramente porque el intercambio con los visitantes de la sección se torna más y más frecuente,  y que recibo de ellos, no sólo soluciones, sino también posibles problemas a plantear aquí. (Amén)

 

 

1.   Introducción.

 

Durante las primeras semanas de mi primer año de estudiante, discutiendo un ejercicio con un compañero, éste enunció en el curso de su argumentación una supuesta propiedad (que parecía bastante verosímil) :  “Si una función  f  está definida en un intervalo alrededor de  y es continua en , entonces hay todo un entorno  donde f  es continua en cada punto”

Pasé un buen rato de cierta tarde tratando, por fortuna infructuosamente, de demostrar la presunta propiedad.

Cuando poco tiempo después mencionaron en clase la función de Dirichlet:

 

que es discontinua para todo , me di cuenta que una variante de ella daba respuesta  negativa  a la cuestión. Efectivamente, la función

 

es continua en , y solamente allí, de modo que no existe, para  ningún , un intervalo  donde  sea continua en cada punto.

 

            Más adelante leí ^([1]) sobre una función mucho más asombrosa aún, de esas que hacen que uno se pregunte a quién se le ocurrió por vez primera (no lo sé, así que estaré muy agradecido si alguien lo sabe y manda la referencia).

Dicha función, continua  y  discontinua  , es la siguiente:

  ⁽²⁾

 

Si  es racional vale ; como en cualquier entorno de tal  hay irracionales y en ellos  vale ,  tenemos que para  no existe ningún  tal que para todo  valga  . Por lo tanto  es discontinua para todos los racionales.

Por otro lado, si  es irracional tenemos que, para todo , podemos elegir (gracias a Arquímedes)  tal que . Ahora, el intervalo abierto  tiene longitud , de modo que en él sólo puede haber, para cada natural  menor que  a lo sumo un punto donde  valga  , porque  y  con  y  enteros distintos, distan en  , que es la longitud del intervalo. De este modo, si elegimos un número positivo  de modo que  y tomamos este   lo suficientemente chico como para que también queden excluidos los finitos puntos de  en que  vale , con  (recuérdese que hay a lo sumo un punto para cada uno de estos  ), tenemos que  vale  , donde  es un natural mayor o igual que , de donde , de manera que en cualquier caso vale que si   , entonces . Luego  es continua en  cada  irracional.

 

Bastante tiempo después, ya siendo ayudante, se me ocurrió plantearme la pregunta que da lugar al problema de este mes (ya llega, paciente lector). Como con un poco de trabajo puede encontrarle respuesta, tuve entonces la debilidad de incluir la cuestión como ejercicio optativo en unas prácticas de Análisis Matemático para estudiantes que recién ingresan a la universidad, que estábamos reformando con mi amigo Mario. Todo con la esperanza de que durante el curso alguno de los alumnos me consultara sobre el ejercicio, y así tendría yo auditorio para la solución que se me había ocurrido. Como corresponde, me vi burlado en mis aviesas intenciones ya que los alumnos pasaban olímpicamente de largo los ejercicios optativos, y jamás me consultaron por el problema aquel. (Y hasta donde yo sé, tampoco lo consultaron con ningún compañero docente en ningún otro curso de la misma materia). De modo que lo reciclo aquí, aún virgen, con la expectativa de contar dentro de un mes mi respuesta, junto con alguna otra, seguramente más bonita, que me proporcionen los amables lectores.

 

 

2.   El Problema del mes (agosto 2002)

 

Recuérdese que la función  citada más arriba, es continua en los irracionales y discontinua en los racionales (dos conjuntos que en particular son densos y complementarios en R).

Ahora: ¿Existe alguna función que sea continua sobre los racionales y discontinua sobre todos los irracionales?

La solución consistirá en exhibir una tal función  y demostrar que cumple lo pedido o bien, por el contrario, demostrar que no existen funciones con dicha propiedad.

      Hasta pronto.

 

 

Álvaro Corvalán, para  http://www.rinconmatematico.com

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