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Autor Tema: La cuadratura del círculo  (Leído 5096 veces)
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« : 15/10/2006, 05:13:21 pm »

Entenderé que un círculo es “cuadrable” cuando él mismo o cualquiera de las seccciones en la que
se pueda dividir pueda construirse de forma perfecta como una suma finita y entera de figuras
cuadradas.

No ocurre así con otras figuras aparentemente más 'cuadrables', por ejemplo: un ortoedro que tenga
tres lados de diferente longitud y, en general, con cualquier otra figura curva o recta cuya región en
el espacio necesite calcularse con el concurso de tres o más variables.

Para visualizar esto me imagino un círculo cualquiera de radio (r) que gira dentro de él con una
velocidad constante. Para determinado tiempo (t), habrá recorrido (generado) un perímetro y un
área concretas. Cuando (t) tiende a  [texx]\infty[/texx], dicho perímetro o área tenderán también a  [texx]\infty[/texx].

¿Cuál es la fórmula genérica del área así planteada?


(Ya sé que esto es trivial)

Saludos cordiales,   Fernando Moreno

* imagen.jpg (33.57 KB - descargado 459 veces.)
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  Uno de los atractivos indiscutibles de la matemática pura es su belleza desnuda y el Último Teorema de Fermat es una provocadora prueba de ello, se consiga demostrar o no.  F. Moreno 
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« Respuesta #1 : 15/10/2006, 09:38:30 pm »

Lo cierto es que se demostró hace siglos que el circulo no es cuadrable, debido a que Pi es trascendente.

Sin embargo, los esfuerzos por cuadrar el círculo de Eudoxo y Arquímedes son antecedentes del cálculo diferencial e integral.

Cuando Leibniz habla de una curva diferenciable, la compara a un polígono de infinitos lados.  Para integrar el área bajo una función, se divide en un número infinito de rectángulos

Un saludo.
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« Respuesta #2 : 16/10/2006, 11:30:02 am »

Naturalmente que un círculo no es cuadrable sin utilizar números trascendentes. En cambio si los utilizo sí que lo es. Por ejemplo, el área de un círculo goniométrico es [texx]\pi[/texx] y corresponde exactamente al área de un cuadrado de lado [texx]\sqrt[ ]{\pi}[/texx]. Pero yo no voy por ahí, me he referido a que entenderé que un círculo es 'cuadrable' si se puede descomponer en una suma finita y entera de cuadrados perfectos (posiblemente trascendentes): en el sentido en que no todas las figuras geométricas tienen esa propiedad. Pero esto es algo que me gustaría hacer ver más adelante. Para ello me quedo por ahora a la espera de la respuesta a la sencilla pregunta que formulé de cómo hallar la fórmula del área de un círculo tal y como lo planteo arriba.

(Quise inscribir el dibujo, que es trivial y no es necesario en realidad, en el mensaje primero, pero no supe hacerlo, de ahí el attach)  <Ahora ya he aprendido a inscribir dibujos  :sonrisa_amplia:  .02/01/2007>

Saludos y gracias por responder,
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« Respuesta #3 : 16/10/2006, 12:24:24 pm »

Hola

Creo que no entiendo del todo tu definición de figura cuadrable. Si algo tiene área S, entonces, un cuadrado de lado [texx]\sqrt{S}[/texx], ¿valdría para probar que es cuadrable? ¿Cómo podría haber figuras que no sean cuadrables en ese sentido?

Saludos.
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« Respuesta #4 : 17/10/2006, 08:59:52 am »

Veo que no me estoy explicando nada bien. Lo del ejemplo del cuadrado de lado [texx]\sqrt[ ]{\pi}[/texx] era para responder a Numerarius en el sentido de darle en cierto modo la razón: no podemos evadirnos de los números trascendentes (reales) para hallar de una forma genérica el área de un círculo (que es una forma en el fondo de cuadrar en 'x' y en 'y'  :guiño: ). Lo que tú planteas es, como tú mismo sugieres, una tautología.

No puedes entender Nineliv mi definición de figura 'cuadrable' porque estás fuera del contexto de su demostración, que tengo reservada para más adelante.

Lo que yo he  planteado es solamente una hipótesis y un camino para empezar a meterse en el contexto de poder demostrarla o no. Por eso, insisto, por lo que me gustaría empezar es por hacer pensar en cómo hallar el área de un círculo en las condiciones que lo he planteado en el primer mensaje. No tengo prisa. Repito que más que nada mi propósito es por ahora hacer pensar (a nivel básico).

Saludos,
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« Respuesta #5 : 17/10/2006, 09:37:12 am »

Hola.

Me parece que no te sigo...

Si suponemos que en una unidad de tiempo el punto que va circulando por la circunferencia da una vuelta, tendremos para un tiempo t el perímetro y área:
P=2[texx]\pi[/texx]rt
A = [texx]\pi[/texx]r2t
¿Es esto lo que querías?

Saludos.
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« Respuesta #6 : 18/10/2006, 11:36:45 am »

Por aquí es donde quería ir, gracias. Yo planteo un radio que se mueve a una velocidad constante (v) que quedará determinada por el valor de (t). Pero como pregunto cuál será el área para un tiempo cualquiera y, por lo tanto, para una velocidad cualquiera, sobran ambos parámetros. Tanto (t) como (v) son el marco del 'cuadro' que delimita el lienzo de lo que quiero decir, pero no tienen nada que ver con los dibujos que contiene dentro. Pongo un ejemplo: existirá un [texx]t = x[/texx] para el cual el radio no haya completado una vuelta del círculo, para ese caso: [texx]P < P = 2 \pi r t[/texx] [texx]\wedge[/texx] [texx]A < A = \pi r^2 t[/texx]. Tú fórmula es correcta en un sentido, claro, pero si le quito (t) -que está implícitamente a ambos lados de la igualdad- y la condición de haber recorrido un determinado ciclo inicial: ¿qué queda?

Sé que abuso de vuestra paciencia. Un saludo,
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« Respuesta #7 : 18/10/2006, 06:48:47 pm »

Hola.

He leido tu anterior mensaje un par de veces y no entiendo nada.

¿Podrías explicarlo con más detalle o poner algún ejemplo? O ya puesto, desarrollarlo más porque no sé de qué va todavía el tema.
No puedes entender Nineliv mi definición de figura 'cuadrable' porque estás fuera del contexto de su demostración, que tengo reservada para más adelante.

Lo que yo he  planteado es solamente una hipótesis y un camino para empezar a meterse en el contexto de poder demostrarla o no.
Yo diría que va siendo hora de entrar en el contexto de tu definición de figura cuadrable. Dar palos de ciego no nos llevará a ningún sitio.

De verdad que no sé de qué estamos hablando...  :indeciso:

Saludos.
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« Respuesta #8 : 19/10/2006, 11:37:38 am »

Ok

Tú fórmula es correcta en un sentido, claro, pero si le quito (t) -que está implícitamente a ambos lados de la igualdad- y la condición de haber recorrido un determinado ciclo inicial: ¿qué queda?
Queda: para [texx]x = 2 \pi[/texx] [texx]\wedge[/texx](obviamente) [texx]x \in{\mathbb{R}}[/texx], [texx]P = x\cdot{r}[/texx] [texx]\wedge[/texx] [texx]A = \displaystyle\frac{x\cdot{r ^2}}{2}[/texx]


De otra forma:

[texx]A = \displaystyle\frac{P r}{2}[/texx]             =            θ r r / 2              =              θ r2 / 2           =          x r2 / 2     =    [texx]\displaystyle\int_{0}^{x/2}r^2 dx[/texx]

Nota: Fíjense que en                  P =  θ r                                 θ = medido en      
un círculo goniométrico             (longitud del arco                      radianes, que se
la relación entre área y             de un sector circular)                pueden representar   
perímetro es:                                                                       como valores del eje OX
A = P / 2                                                            
                     


La cuestión estriba en que la última igualdad representa no solamente un área sino al mismo tiempo el volumen de una figura recta que resulta del límite de la suma cada vez mayor de una serie de ortoedros de base cuadrada y de anchura cada vez menor. Esto es, estamos ante una equivalencia de la simple ecuación del volumen de la mitad de un ortoedro de sólo 2 (como máximo) lados de diferente longitud: [texx]2V = r^2\cdot{x}[/texx]


Y es aquí cuando empieza la parte más complicada. Yo afirmé en el primer mensaje que esta región en el espacio, equivalente de forma exacta al área de cualquier círculo, podría construirla como una suma finita y entera de figuras cuadradas. Como hablamos de ortoedros y estamos en 3d, la figura cuadrada a la que me estoy refiriendo será a la de un cubo perfecto. No obstante, para verlo mejor, es más adecuado situarse primero en 2d, dado que es fácilmente generalizable, como espero que veais, para nd  (Ver attach).



Saludos,     Fernando Moreno


(He advertido un error en la parte final del attach original, así que subo uno actualizado: 22/10/2006 y retocado: 24/11/2006)

* recursiva2.pdf (112.07 KB - descargado 174 veces.)
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« Respuesta #9 : 23/10/2006, 12:28:21 pm »

Hola.

Leí tu adjunto. No fue fácil; y alguna parte me ha quedado oscura, como la relacionada con la función f(x,y) y el tiempo t (es una función recursiva, ¿no?).

Estoy de acuerdo con tu cálculo
[texx]A = \displaystyle\frac{P r}{2}[/texx]= θ r r / 2 = θ r2 / 2 = x r2 / 2 =[texx]\displaystyle\int_{0}^{x/2}r^2 dx[/texx]                            
pero no con la interpretación. θ o x está medido en radianes, que no es una unidad de longitud, entonces la integral no representa un volumen.

Por otro lado, ¿por qué escoges precisamente ese ortoedro para el área del círculo? ¿Cómo se haría con otras figuras, por ejemplo con el área encerrada por el eje OX, la parábola y = x2 y la recta vertical x=2? O cosas aún peores, como conjuntos no acotados que encierran un área finita.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 24/10/2006, 11:19:49 am »

Hola, gracias por leer el adjunto, entiendo que desde fuera sea una castaña. 'Obligado', como dicen los portugueses.

Te contesto:

1) f(x,y) no es una función recursiva (de hecho no sé qué es una 'función recursiva', sólo entiendo de 'procedimientos recursivos' y no demasiado), es una función en forma paramétrica, de parámetro (t).


2) Que yo sepa un radián como medida de un ángulo dentro de una circunferencia es equivalente a la longitud del arco que mide lo mismo que el radio de dicha circunferencia. ¿Y dices que no es una medida de longitud? ¿Entonces cuál es el dominio de las funciones trigonométricas? Si: [texx]x = \displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] [texx]\wedge[/texx] [texx]y = sen x = 1[/texx],  ¿[texx]x \not\in{\mathbb{R}}[/texx]?


3) Por último, si tengo: [texx]a \Leftrightarrow{b} \Leftrightarrow{c} \Leftrightarrow{d}[/texx]. Puedo escoger legalmente: [texx]a \vee b \vee c \vee d[/texx]. Y eso es lo que hago, escoger naturalmente lo que más me conviene de cara a la demostración que quiero sacar adelante. Pero nota que no me refiero a equivalencias entre valores numéricos de posibles áreas de círculos (como los ejemplo que pones), sino a equivalencias de fórmulas que puedan dar lugar a dichas áreas (¿dónde está r en el ejemplo de la parábola?)


Saludos cordiales,
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« Respuesta #11 : 24/10/2006, 12:22:25 pm »

Hola.

Volví a mirar lo de la función, ya vi que f(x,y) es simplemente x/y pero ahora lo que no veo claro es la función de t. Entiendo que las igualdades son asignaciones y no identidades.

Vale. El radián se puede ver como una medida de longitud, pero lo que no vale es mezclarla con la longitud lineal y decir que es un volumen. De tu integral sale una magnitud medida en cm × cm × rad. Para mí eso no es un volumen sino un área. Un arco de radio r que mide φ radianes abarca un arco de longitud rφ. Si el ángulo tuviera longitud, el arco tendría área de acuerdo con el producto rφ (longitud × longitud = longitud2 = área). Así lo veo yo.


Por otro lado no entiendo lo que quieres decir con
¿Entonces cuál es el dominio de las funciones trigonométricas? Si: [texx]x = \displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] [texx]\wedge[/texx] [texx]y = sen x = 1[/texx],  ¿[texx]x \not\in{\mathbb{R}}[/texx]?

Para 3), si has probado la equivalencia de a,b,c y d, y tienes una de ellas, puedes tomar la que quieras, sí; pero no sé a qué concretamente se refiere esto en tu documento.

¿Vale poner la recta x=r para lo de la parábola?

Saludos.
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« Respuesta #12 : 25/10/2006, 12:05:10 pm »

Bien Nineliv, me gusta platicar cotigo (como dicen por allá), porque van quedando las cosas claras. Como hoy no dispongo de tiempo suficiente para contestarte a todo, voy a centrarme solamente en la que para mí es la parte del león:

Vale. El radián se puede ver como una medida de longitud, pero lo que no vale es mezclarla con la longitud lineal y decir que es un volumen. De tu integral sale una magnitud medida en cm × cm × rad. Para mí eso no es un volumen sino un área. Un arco de radio r que mide φ radianes abarca un arco de longitud rφ. Si el ángulo tuviera longitud, el arco tendría área de acuerdo con el producto rφ (longitud × longitud = longitud2 = área). Así lo veo yo.

Me queda claro que uno de los dos está equivocado en este tema y que ése uno puede ser yo. Esto parece una tontería, pero ya es mucho si lo piensas un poco. Así que sin más preámbulo bajo a la arena:

Voy a olvidarme por un momento de longitudes, áreas o volúmenes y voy a centrarme en el concepto de 'variables'. Yo creo que es claro que tanto (r) como θ son 'variables'. Yo puedo hablar del perímetro de un sector circular de r = 2, para [texx]\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] ó para [texx]\pi[/texx]. En un caso P = [texx]\pi[/texx] y en otro P = 2 [texx]\pi[/texx]. O hablar de un sector con los mismos ángulos para r = 3, en cuyo caso P = [texx]3\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] ó P = 3 [texx]\pi[/texx]. ¿Estoy equivocado?

Si no lo estoy resultará que yo podré establecer una función biyectiva entre todos los posibles valores de  θ  y los puntos de una recta que será equivalente a la Recta Real, porque θ puede adoptar también valores como: 4, 13 ó 1,778999... Por eso puedo sustituir θ por (x) como lo he hecho hasta ahora.

Un volumen genérico entiendo surge del producto de: x y z variables y es a lo que se refiere la integral a la que aludo en el mensaje de más arriba. Si el cálculo es correcto es muy difícil que la interpretación no lo sea. Un mismo cálculo admite varias interpretaciones. En física es conocida la dualidad de interpretación onda – partícula sobre la base de los mismos cálculos numéricos.

Dices...que entonces “el arco tendría área de acuerdo con el producto r θ “ Bien, es una interpretación posible, en el sentido que al definir la medida de un ángulo por la longitud del arco que genera en el círculo en que está contenido puede definirse también respecto del área de sector de círculo que determina. Quiero decir con esto que son cálculos equivaletes.

Ya tengo que dejarlo pero quiero más adelante profundizar más en esto último así como contestar a lo otro pendiente, que es mucho más fácil.

Saludos cordiales,



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« Respuesta #13 : 26/10/2006, 11:52:37 am »

Continúo con lo pendiente de ayer,

Volví a mirar lo de la función, ya vi que f(x,y) es simplemente x/y pero ahora lo que no veo claro es la función de t. Entiendo que las igualdades son asignaciones y no identidades.

Explico lo que he hecho. Debe haber muchas formas de expresar un planteamiento recursivo. Yo me encontraba con la función: [texx]f(x,y) = \displaystyle\frac{x}{y}[/texx]. Obviamente tenía que introducir una variable de tiempo ([texx]\in{\mathbb{N}}[/texx]), puesto que cuando 'idealmente' empezara a ejecutarse un programa por sucesiva iteración de la función con cada nuevos datos obtenidos de 'x' y de 'y' (de forma no monótona pero sí cada vez más pequeños): [texx]t \rightarrow{\infty}[/texx]. La forma de hacerlo que me pareció menos complicada era introducirla en la función como variable implícita o parámetro.

Por otro lado no entiendo lo que quieres decir con
¿Entonces cuál es el dominio de las funciones trigonométricas? Si: [texx]x = \displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] [texx]\wedge[/texx] [texx]y = sen x = 1[/texx],  ¿[texx]x \not\in{\mathbb{R}}[/texx]?

Esto creo que ha quedado claro con la respuesta de ayer. El conjunto de todos los posibles valores de θ  para un círculo con las características expuestas en el primer mensaje (esto es, que da vueltas sobre sí mismo sin parar) coincide con [texx]\mathbb{R}[/texx]. (Fijaros: No con [texx]\mathbb{Q}[/texx], ni con [texx]\mathbb{Z}[/texx], ni con [texx]\mathbb{N}[/texx]; es en esto en lo que quería expresar mi coincidencia con Numerarius)

Para 3), si has probado la equivalencia de a,b,c y d, y tienes una de ellas, puedes tomar la que quieras, sí; pero no sé a qué concretamente se refiere esto en tu documento.

No me refería a mi documento. Era para responder a tu mensaje anterior del lunes 23 de octubre donde parecías aludir a la posibilidad de utilizar otras figuras equivalentes a la del ortoedro. Posibilidad que admito, aunque no la de tus ejemplos.


¿Vale poner la recta x=r para lo de la parábola?

Pues no vale porque: [texx]\displaystyle\int_{0}^{r}x^2 dx = \displaystyle\frac{r^3}{3}[/texx], que puede representar efectivamente a una parte del volumen de un cubo (en forma de ortoedro), pero que carece del concurso de una segunda variable que lo haga equivalente al juego de las 2 de las que partimos:  θ r2 , sin mencionar que está dividido por 3. En definitiva, estamos de nuevo ante un posible valor del área de un círculo, pero no de una posible fórmula que pueda dar lugar a ese valor tal como: [texx]\displaystyle\frac{x\cdot{r^2}}{2}[/texx]. No obstante, ya he reconocido que pueden existir otras equivalencias.

P.D.: Quizás se entienda mejor si digo:  [texx]\displaystyle\frac{x\cdot{y^2}}{2}[/texx]


Saludos cordiales,
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« Respuesta #14 : 28/10/2006, 07:49:35 am »

Me voy una semana de vacaciones  :tranqui: . La última para mí de este año y quiero hacerlo dejando una especie de acertijo.

Existe una forma general de prescindir de [texx]\pi[/texx] a la hora de hallar el área de un círculo bajo ciertas condiciones y decir de esta manera que: [texx]A = r^2[/texx] . (No estoy diciendo que no haya muchas otras formas bajo otras condiciones)

Estas condiciones son las siguientes: yo poseo una cuerda extendida en un espacio sin gravedad (y por tanto sin curvatura alguna) de longitud [texx](x)[/texx] y me propongo enrollarla sobre sí misma formando un círculo perfecto a partir de un determinado radio [texx](r)[/texx] que escojo de ella.

Si: [texx]x,r \in{\mathbb{R}}[/texx], entonces:

a) ¿Cuál es la fórmula que nos dará el número exacto de vueltas que podré realizar?

b) ¿Cuál será la fórmula que nos dé el perímetro total formado?

c) ¿Cuál será por consiguiente la fórmula del área generada?

Y, por último:

d) ¿Cuál será entonces la diferencia que, de existir,  hará siempre que: [texx]A = r^2[/texx]?



Esta vez espero que sí resulte trivial.


Saludos cordiales,    Fernando Moreno

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« Respuesta #15 : 07/11/2006, 08:55:42 am »

d) ¿Cuál será entonces la diferencia que, de existir,  hará siempre que: [texx]A = r^2[/texx]?

d) [texx]x - r = 2[/texx]


Quisiera terminar este topic con este mensaje, aunque creo que queda claro que es un tema que continúa abierto. Si he ayudado a alguien para que lo vea así me doy por satisfecho, al menos en lo que a mi parte de filósofo (en Proyecto) me toca.

Para demostrar esto que digo vean sino otra manera de aproximar un círculo a una figura cuadrada:

En mi primer mensaje describo la situación de un círculo en el que su radio se está moviendo dentro de él a una velocidad constante. Veamos qué pasa simplemente si le añado la condición: 'que dicho radio se mueva de derecha a izquierda'. ¿Lo adivinais? ¿No podríamos estar acaso ante un simple reloj? Si lo divido en 60 sectores de  [texx]\displaystyle\frac{\pi}{30}[/texx]  radianes cada uno obtendré las marcas de las horas (cada 5 sectores) y la de los minutos y los segundos (por cada sector). El radio podría ser entonces la manecilla de las horas o la de los minutos o la de los segundos. Según cual fuera iría a una velocidad u otra, más rápido o más lento. Pensemos en la velocidad más rápida. Estamos, pues, ante un 'radio segundero'. Y aquí viene la pequeña dificultad que hay que vencer: la descripción lógica del movimiento. Si realmente el segundero tuviera que recorrer punto por punto el perímetro del círculo (cuya longitud ya hemos visto que [texx]\in{\mathbb{R}}[/texx]), no se movería. Estamos, efectivamente, ante la  clásica paradoja de Zenón. Entre los extremos de cada sector de círculo que dividamos por pequeños que sean existirán infinitos puntos por recorrer. Imaginemos que con una cámara fotográfica le fuera haciendo fotos al reloj cada segundo. En cada foto 'el segundero' aparecería sobre la marca de cada uno de los 60 sectores en que he dividido el círculo. Contra más aumente la velocidad de obturación, menos sector de círculo veré que recorrerá. Si la velocidad fuera [texx]\infty[/texx] descubriría al segundero en las fotos sobre cada punto único e indivisible en los que se puede dividir el círculo. Absurdo y contradictorio lógicamente y absurdo e imposible físicamente, pues la velocidad tiene el límite de la que tiene la luz. Podría seguir el argumento... pero este margen es demasiado estrecho para desarrollarlo  :sonrisa_amplia:

En definitiva, (ver un ejp. aquí en el foro: http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=2438.60), el movimiento sólo es posible lógicamente si voy dando pequeños saltos sobre [texx]\mathbb{R}[/texx], como hace en realidad el segundero en un reloj de verdad. La segunda parte ahora es mucho más fácil. Dar un salto es pasar sin continuidad, directamente, de un punto a otro. ¿Qué trayectoria describirá? Nos metemos ahora de refilón en física. En un contexto de escasa gravedad y por tanto, de escasísima curvatura espacial, 'la línea recta' es la respuesta que nos da la matemática, entre otras cosas porque si no no nos encontraríamos ante un círculo plano y nuestro 'segundero' tampoco podría mantener una velocidad básicamente no acelerada.

Bien, he aquí el reto que os propongo y os regalo (yo no me voy a dedicar a eso): ¿De cuántos lados constará el polígono que describirá en realidad el 'radio segundero' más lento posible alrededor del círculo?

Este número vendrá dado por la razón: x = 2[texx]\pi[/texx]/ θ , siendo: θ, x [texx]\in{\mathbb{R}}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  θ un ángulo mínimo. ¿Cuál es este x? ¿Cómo será este polígono recto que representará al círculo físico real? Si alguien lo descubre o sabe de alguien que lo haga o incluso que lo haya hecho ya, me podría enviar un correito para decírmelo. Y es que tengo curiosidad.. luego estoy vivo  :guiño:


Saludos cordiales,    Fernando Moreno


Dejo como attach (y ahora también como dibujo) un divertimento que se me ha ocurrido mientras viajaba por tierras granadinas.


* divertimento.jpg (70.08 KB - descargado 397 veces.)
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