Disponible pdf: http://www.rinconmatematico.com/ismael/juliamandelbrot/juliamandelbrot.pdf
Los Conjuntos de Julia y Mandelbrot
Ismael
Introducción
Tengo dos objetivos al realizar este trabajo: ser matemáticamente lo más riguroso posible y que se pueda experimentar sin tener que aprender matemáticas más avanzadas. Es difícil equilibrar estos dos objetivos, seguramente en algunos párrafos hacen falta más demostraciones y en otros las cuentas son demasiado pesadas. Espero que sepan perdonar mis errores y disfruten de esta introducción a los conjuntos de Julia y Mandelbrot.
Debido a la naturaleza del tema, es un requisito necesario el conocimiento de las operaciones básicas con n&úacute;meros complejos. Salvando este “pequeño” requerimiento, los demás conocimientos necesarios los citaré a medida que los utilice y trataré de dar bibliografía adecuada en cada caso.
Bueno, vamos a empezar con:
Sistemas Dinámicos
No voy a pretender dar una explicación rigurosa de este tema, sino sólo mostrar cuál es la motivación del origen de los conjuntos de Julia y Mandelbrot.
Los sistemas dinámicos tienen su origen al estudiar los problemas de evolución. Con un ejemplo me parece que se va a entender la idea.
Ejemplo 1: Supongamos que la función modela la evolución de una población al cabo
de un año. Esto es, si tenemos una población inicial de
individuos, al cabo de un año la población
será de
individuos. Entonces al cabo de
años vamos a tener una población de
individuos.
En general nos van a interesar dos problemas: Fijado el
parámetro ,
cuál sería la evolución de una población inicial, al cabo de
años; o fijada la población inicial de
individuos, en qué manera afecta el parámetro
a la evolución de la población.
Ejemplo 2: Siguiendo el ejemplo anterior fijemos ,
entonces resulta que
.
Tenemos varias alternativas en la evolución del sistema:
- Si , la población disminuye a medida que transcurre el tiempo, esto es.
- Si
en cambio , la población aumenta de manera exponencial, esto es.
- En
el caso en que , la población permanece estable.
Este modelo es bastante simple y sencillo, pero no es
demasiado realista. Otros modelos más reales, muestran un comportamiento mucho
más complicado. Un ejemplo de esta clase de modelos es la función logística
,
que en apariencia es apenas un poco más complicada que el ejemplo precedente,
pero su comportamiento es bastante más complicado. El estudio del
comportamiento de ésta dio origen al famoso
conjunto de Mandelbrot, que veremos más adelante.
Antes de seguir, vamos a definir algunas cosas que nos van a
resultar &úacute;tiles más adelante. Sea una función que modela la evolución de un
sistema. Dentro del estudio de los sistemas dinámicos nos va a interesar
aquellos subconjuntos de
que permanezcan invariantes por la acción de
;
se dicen invariantes en general y los podemos clasificar en:
- Si , entoncesse dice invariante hacia adelante.
- Si , entoncesse dice invariante hacia atrás.
- Si cumple ambas propiedades se dice invariante hacia atrás y hacia adelante.
Vista esta pequeña introducción a los sistemas dinámicos, podemos pasar a:
El conjunto de Julia
En esta parte nos vamos a limitar a estudiar los polinomios (aquí
son los complejos). Un polinomio es una
expresión del tipo
,
donde los
son n&úacute;meros complejos. Muchas de las
definiciones y de los teoremas que se presentan pueden darse en un contexto más
general, ver por ejemplo [Beardon].
Sea un n&úacute;mero complejo tal que
,
en ese caso se dice que
es un punto fijo de
.
Sea ahora
tal que
,
para alg&úacute;n
,
en ese caso se dice que
es un punto periódico de
;
si además
es el menor n&úacute;mero natural con esta
característica, se dice que
es un punto
-periódico.
Los puntos periódicos se pueden clasificar, seg&úacute;n :
- Si , se dice quees un punto repelente.
- Si , se dice quees un punto indiferente.
- Si , se dice quees un punto atractivo.
- Si , se dice quees un punto superatractivo.
Entonces, ahora podemos definir el conjunto el conjunto
de Julia de como:
Aquí quiere decir la clausura del conjunto
,
pueden consultar la definición de clausura en alg&úacute;n libro de topología, por
ejemplo “Topología” de J. R. Munkres.
El conjunto de Julia tiene ciertas propiedades:
- Es no vacío.
- Es un conjunto invariante hacia adelante y hacia atrás.
- Es acotado y cerrado.
- Tiene interior vacío y no tiene puntos aislados (se dice perfecto).
Las demostraciones de estas propiedades se pueden consultar en [Falconer].
Cuando las funciones en la que estemos trabajando no sean
los polinomios, estas propiedades no necesariamente se preservan. Por ejemplo
en el caso de que sea una función racional, el conjunto
no va a resultar en general acotado, ver
[Beardon].
El complemento del conjunto de Julia se denomina el conjunto
de Fatou y se denota .
Algunas propiedades del conjunto de Fatou, se comprueban fácilmente al ser el
complemento del conjunto de Julia: es abierto y es invariante hacia adelante y
hacia atrás.
Ejemplo 3: Sea la función .
Los puntos periódicos de
son los
tales que
,
si
entonces
,
de donde resulta que
es una raíz de la unidad y
.
Falta ver que son repelentes, tenemos que
,
entonces resulta
,
donde vemos que
.
En el caso
,
se puede comprobar que es un punto fijo superatractivo y por lo tanto no
pertenece al conjunto de Julia. Luego tenemos que
,
tomando la clausura de estos puntos se puede probar que
.
Figura 1: Conjunto de
Julia de
Si intentamos usar esta definición para calcular el conjunto
de Julia de un polinomio cualquiera, vamos a encontrarnos con una serie de
inconvenientes. Por ejemplo si ,
para encontrar los puntos
-periódicos tenemos que resolver
,
que es una ecuación de grado
.
Por ejemplo si tenemos un polinomio de grado 2,
y si queremos calcular los puntos
3-periódicos, resulta que
.
Tenemos que buscar las raíces de un polinomio de grado
.
Esto es un poco complicado, y además vamos a tener como mucho 8 puntos, que para
el gráfico de un conjunto son demasiado pocos.
El siguiente teorema nos da otra forma de calcular el
conjunto de Julia de un polinomio .
Teorema 1: Si ,
entonces
.
(Esto nos dice que
es un conjunto atractivo de
)
Una demostración de este teorema se puede encontrar en [Falconer].
Este teorema nos permite, usando una computadora, dibujar el conjunto de Julia de un polinomio.
Podemos proceder del siguiente modo: buscamos un punto fijo
de ,
o sea resolver
.
Nos aseguramos que sea un punto repelente, o sea que
.
Entonces este punto está en el conjunto de Julia de
.
Sea ahora
.
En el paso
tenemos el conjunto
,
tomamos cada punto
y calculamos sus preimágenes, o sea los
tales que
.
El conjunto de todas las preimágenes será
.
Repetimos hasta calcular una cantidad
suficiente de puntos, y entonces dibujamos.