Desigualdad de Bernoulli
§ 4 Desigualdades
Korovkin
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En este parágrafo demostraremos, apoyándonos en el teorema 2[1], la desigualdad de Bernoulli, que tiene interés por sí sola y se aplica frecuentemente en la solución de problemas.
Teorema 3 Si y
, entonces
(11)
En
cambio, si o bien si
, se tiene
(12)
El
signo de igualdad en (11) y (12) se cumple sólo para .
Demostración: Supongamos que es un número racional con la particularidad
de que
.
Sea
,
donde
y
son números enteros positivos y
.
Debido a que
por hipótesis, tenemos
El signo
de igualdad tiene lugar sólo si todos los factores que figuran debajo del
radical son iguales, o sea si ,
.
En
cambio, si ,
tenemos
.
Es
decir, hemos demostrado la primera parte del teorema para el caso en que es un número racional.
Supongamos ahora que , Sea
una sucesión de números racionales que tiene
como límite con la particularidad de que
.
De las desigualdades
,
,
demostradas ya para el caso en que el exponente es un número racional, se deduce que
Con esto
la desigualdad (11) queda demostrada
también para los valores irracionales de .
Resta demostrar que para valores irracionales de
,
siendo
,
y
,
se tiene
,
o sea,
que el signo de igualdad no tiene lugar en (11) si .
Con este fin tomemos un número racional
tal que
.
Es evidente que
.
Puesto
que ,
resulta, según hemos demostrado, que
Por consiguiente
Si ,
tenemos
,
o sea,
Con esto queda completada la demostración de la primera parte del teorema.
Pasamos a la demostración de la segunda parte del teorema.
Si ,
la desigualdad (12) es evidente, pues su primer miembro es no negativo, mientras que el segundo es
negativo.
Si ,
o sea,
,
consideraremos por separado cada uno de los casos.
Sea ;
entonces según la primera parte del teorema, ya demostrada, tenemos
con la
particularidad de que el signo de igualdad tiene lugar sólo si .
Elevando a la potencia
ambos miembros de la desigualdad, obtenemos
Sea
ahora .
Si
,
la desigualdad (12) se hace evidente.
Si
, tomemos un número entero positivo
de modo que se cumpla la desigualdad
.
En
virtud de la primera parte del teorema, tenemos
,
(la
última desigualdad es válida porque )
Elevando a la n-ésima potencia ambos miembros de la última desigualdad, obtenemos
.
Notemos
que la igualdad puede darse sólo en el caso .
Con esto queda demostrado completamente el teorema.
Problema
1. Demostrar que para se tiene
(13)
Solución
Puesto que ,
tenemos en virtud de la desigualdad (11)
Multiplicando estas desigualdades por ,
obtenemos
de donde es fácil deducir las desigualdades (13).
Problema 2. Demostrar que para ,
se tiene
(14)
Solución
Tomando en las desigualdades (13) ,
obtenemos
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sumando estas desigualdades, obtenemos (14)
Problema 3. Hallar la parte entera del número
Solución
Tomando
en (14) y
,
obtenemos
o sea,
.
Puesto que
,
,
tenemos
, o sea
.
De estas desigualdades resulta que .