Media geométrica y media aritmética

Si son números positivos, los números

formados a base de ellos, se denominan, respectivamente, media aritmética y media geométrica de los números . Para estos dos números Augustin Cauchy, matemático francés, demostró a principios del siglo XIX la desigualdad

que se aplica frecuentemente en la solución de problemas. Demostraremos esta desigualdad exponiendo previamente una proposición auxiliar.

Teorema 1. Si el producto de unos números positivos es igual a , la suma de los mismos no es menor que :

Demostración. Emplearemos el método de inducción matemática[1]. Comprobaremos primero que el teorema es válido para , o sea, demostraremos que

Con este fin, consideraremos por separado dos casos:

1) .

En este caso tenemos y el teorema queda demostrado.

En este caso tenemos y , puesto que el producto es igual a 1. De la igualdad

se deduce que

(4)

La igualdad (4) ha sido establecida sin imponer condición alguna a los números y . Teniendo en cuenta ahora que , obtenemos

Finalmente, puesto que , el último número resulta positivo y por eso .

O sea, el teorema queda demostrado para . Notemos que la igualdad

se cumple sólo si . En cambio, para , se tiene

Basándonos en el método de inducción matemática, supondremos ahora que el teorema es válido para , es decir, supondremos que la desigualdad

tiene lugar si , y demostraremos el teorema para , o sea, demostraremos que

si , donde , , , . . . , ,

Notemos ante todo que siendo

se pueden presentar dos casos:

1) todos los factores son iguales, o sea:

2) no todos los factores son iguales.

En el primer caso todos los factores son iguales a la unidad y la suma de los mismos es igual a , o sea,

En el segundo caso, entre todos los factores del producto , habrá números mayores y menores que uno (si todos los factores fueran menores que uno, el producto también sería menor que uno).

Sea, por ejemplo, y . Tenemos

Poniendo , obtenemos

Puesto que aquí el producto de k números positivos es igual a la unidad, resulta (por hipótesis) que la suma de los mismos no es menor que k, o sea

Pero

Recordando que , obtenemos

Puesto que y ., tenemos y, por consiguiente,

Con esto queda demostrado el teorema 1.

Problema 1. Demostrar que si son números positivos, se tiene

con la particularidad de que el signo de igualdad tiene lugar sólo si

Solución. Puesto que

la desigualdad se deduce del teorema 1. El signo de igualdad tiene lugar sólo si

o sea, sólo si

Problema 2. Demostrar la desigualdad

Solución. Tenemos

Puesto que el producto de los sumandos del último miembro es igual a la unidad, la suma de los mismos no es menor que dos. El signo de la igualdad tiene lugar sólo para .

Problema 3. Demostrar que para se tiene

Solución. Puesto que , tenemos

Problema 4. Demostrar la desigualdad

Solución. Dividamos entre numerador y denominador del primer miembro de la desigualdad:

Puesto que , tenemos , y, por consiguiente,

Pasemos ahora a demostrar la afirmación enunciada al principio del parágrafo.

Teorema 2. La media geométrica de números positivos no pasa de la media aritmética de estos mismos números.

Si los números no son todos iguales, la media geométrica de es tos números es menor que su media aritmética.

Demostración. De la igualdad se deduce que , o sea,