La divergencia de la serie armónica
prueba corta
Compárese con la estrategia empleada
para probar el criterio de Pringsheim
La
prueba se hará por reducción al absurdo. Supóngase que es convergente. Por definición, ello
significa que sus sumas parciales
forman una sucesión con límite finito,
digamos
.
Más precisamente:
Ahora
bien, si ,
también lo mismo es cierto para la subsucesión de las sumas parciales de índice
par:
, por lo cual, y gracias a nuestra suposición
de que
es un número real, podemos restar sin
problemas, y obtener
Llegaremos a una contradicción contra este último límite, lo que nos probará que la sucesión estudiada no es sumable.
Veamos la siguiente “escena de sumatoria explícita”:
Con lo que el resultado anterior se expresa
La siguiente acotación será reveladora: la suma
de
sumandos(**), es mayor que
veces el sumando más chico, que es
(el último sumando) . Más precisamente
Reuniendo estos resultados,
,
lo
que va en contra de .
El absurdo provino de suponer que las sumas parciales tenían límite finito. Por lo tanto, la serie de los recíprocos de los naturales no es convergente.